INVESTIGACIÓN
Una matriz es una ordenación rectangular de números. Una matriz con m filas y n columnas es llamada una matriz de tamaño m x n.
2 a. IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices y (del mismo tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, esto es, si
Ejemplo:
Hallar si
Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos:
Despejando en las ecuaciones anteriores, tenemos:
3 a. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES:
1. MATRIZ FILA
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
2. MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
3. MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
4. MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
5. MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
6. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
7. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
8. MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
9. MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
10. MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
11. MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α •A)t = α• At
(A • B)t = Bt • At
12. MATRIZ REGULAR
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
13. MATRIZ SINGULAR
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
14. MATRIZ IDEMPOTENTE
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
15. MATRIZ INVOLUTIVA
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
16. MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
17. MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
18. MATRIZ ORTOGONAL
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A•At = I.
4 a. PROPIEDAD DEL PRODUCTO:
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES:
Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante será de orden 2 5.
(2 3) (3 5) = (2 5)
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.
3 5 por 2 3,
puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.
Esto es,
Ejemplo:
1.
2.
•Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:
Ejemplo:
Entonces:
DIVISIÓN DE MATRICES
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
Ejemplo:
MATRICES INVERTIBLES
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra
MÉTODO DE GAUSS
Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I),
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).
A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
Comprobación:
AA-1 = I
5 a. MATRIZ DIAGONAL ESCALAR:
Ejemplo:
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.
Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a1,…,an) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1,…,an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:
Diag (a1,…,an) + diag(b1,…,bn) = diag(a1+b1,…,an+bn)
Y para el producto de matrices,
diag(a1,…,an) • diag(b1,…,bn) = diag(a1b1,…,anbn).
La matriz diagonal diag(a1,…,an) es invertible si y sólo si las entradas a1,…,an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene
diag(a1,…,an)-1 = diag(a1-1,…,an-1).
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.
Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1,…,an) equivale a multiplicar la fila i-ésima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1,…,an) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por ai para todo i.
6 a. PROPIEDAD DE MATRIZ TRANSPUESTA:
Se llama matriz traspuesta de una matriz de dimensión , a la matriz que se obtiene al cambiar en las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por y su dimensión es
Propiedades
•
o
7 a. MATRIZ NULA:
En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:
Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn definida sobre un anillo K asume la forma:
Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz nilpotente y matriz singular.
8 a. MATRIZ SIMETRICA:
Una matriz de elementos:
es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,…,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Ejemplo para n = 3:
A es también la matriz traspuesta de sí misma: At = A. Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.
Propiedades
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.
9 a. MARIZ ANTISIMETRICA:
Una matriz cuadrada es antisimétrica cuando al intercambiar filas por columnas la matriz cambia de signo y todos los elementos de la diagonal principal son nulos. Así, el producto de matrices anti simétricas no suele ser una matriz antisimétrica. Esquemáticamente, una matriz antisimétrica es la siguiente:
Ejemplo de matriz antisimétrica:
CÁLCULO DE RANGOS:
Rango de la matriz: el número de vectores fila linealmente independientes coincide con el nº de vectores columna linealmente independientes, puesto que la misma matriz A puede entenderse como una colección de m vectores de n componentes o como n vectores columna de m componentes.
Para calcular el rango de una matriz es conveniente seguir los pasos que se enuncian a continuación:
• Primero. Es necesario realizar algunas transformaciones. Escogemos un elemento pivote, en el ejemplo de abajo he escogido el , y sobre él realizaremos una serie de operaciones para conseguir que el resto de la fila esté compuesta única y exclusivamente por ceros.
• Segundo. Para obtener un cero en el elemento será necesario restar entre columnas a fin de conseguir que
• Tercero. El resultado obtenido en el paso anterior lo colocamos en la segunda columna; y así sucesivamente.
• Cuarto. Se deja la primera columna sin modificar, ya que en ella ha habido un elemento pivote ya. Del resto de elementos de la matriz, escogemos un nuevo elemento pivote (que no sea cero) para que haga las veces de pivote. En la matriz ejemplo se ha escogido el.
• Quinto. Ya hemos concluido, pues el procedimiento ha finalizado. Es importante saber que si el procedimiento que se ha de llevar a cabo se realiza para las filas en lugar de las columnas, obtendremos como resultado final lo mismo.
10 a. MATRIZ CONJUGADA:
Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.
Ejemplo:
11 a. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR E INFERIOR:
En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.
•
Descripción
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:
Análogamente, una matriz de la forma:
se dice que es una matriz triangular inferior.
Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de “upper triangular matrix” y L de “lower triangular matrix”, los nombres que reciben estas matrices en inglés.
Ejemplos
Esta matriz es triangular superior.
Esta matriz es triangular inferior.
Propiedades de las matrices triangulares
• Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios(matriz diagonal).
• El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior).
• La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.
• El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
• Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).
• Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.
PARA QUE SIRVE EL ALGEBRA LINEAL EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS?
El ÁLGEBRA LINEAL, es la parte esencial
en el estudio de muchas áreas de la ciencia y la técnica. Un ejemplo
es el Cálculo Científico en computadores que se realiza actualmente.
El álgebra Lineal le proporcionan al
Administrador de Empresas instrumentos esenciales para la acertada toma
de decisiones en lo referente a la optimización de recursos escasos.
Sirve además para que el alumno adquiera cierta capacidad de
abstracción y de formalización de las ideas matemáticas, en un contexto
donde los razonamientos lógicos encadenados son sencillos. También le
sirven para adquirir el conocimiento de conceptos y técnicas de cálculo
importante, potente y de amplia utilización en diferentes problemas de
Economía y Administración haciendo del álgebra lineal una herramienta
imprescindible en la formación de un estudiante de Administración de
Empresas.
COMO SE PUEDE APLICAR EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS?
Álgebra lineal se utiliza normalmente
al hacer un gráfico, y compara los cambios en una variable que en un
tiempo determinado o distancia, o otra constante. La mayoría de las
ecuaciones lineales que para un gráfico en línea recta. A modo de
ejemplo, esto puede ser usado para determinar hasta qué punto un
vehículo recorrerá en una tasa fija de velocidad en diferentes
intervalos de tiempo.
Y al poner la ecuación en una forma
gráfica, puede ser más fácil de entender y lo que interpola el valor
desconocido es a simple vista. Esto es algo que puede ser utilizado en
la cocción, bienes raíces, construcción y trabajo de casi todos los
existentes.
Por ejemplo en un viaje, tienes un
origen y un destino, conoces las distancia, con esto puedes sacar
tiempo en que tomara llegar al destino. Puedes sacar a que velocidad
debes de viajar para llegar en un tiempo fijo.
Comprender y clasificar los problemas empresariales a los cuales se ven enfrentados los administradores en el día a día.
Modelar y resolver problemas empresariales que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. E Interpretar las soluciones como base para la toma de
decisiones que asignan los recursos en la empresa.
Modelar y resolver problemas empresariales que conducen a modelos de programación lineal. E Interpretar las soluciones para apoyar la toma de
decisiones que asignan recursos en la empresa.
Modelar y caracterizar problemas empresariales a través del modelo de líneas de espera.
Realizar análisis de sensibilidad y de costos de los modelos de línea de espera como complemento a la caracterización de dichos modelos.
Interpretar las características de los modelos de líneas de espera y tomar decisiones con base en estas interpretaciones.
Comprender e identificar la aplicación de los diferentes modelos de la teoría de decisión, como ayuda al proceso de asignación de los recursos escasos en las empresas.Comprender y clasificar los problemas empresariales a los cuales se ven enfrentados los administradores en el día a día.
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