ALGEBRA LINEAL
Katherine Acosta García
1. En matemática,
LA PARÁBOLA es la sección
cónica resultante
de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se
define también como el lugar
geométrico de
los puntos de un plano que
equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. La parábola aparece en muchas ramas
de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones
cuadráticas son
parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo
la influencia de la gravedad.
Elementos de la parábola
Directriz:
La
Directriz es la recta sobre la cual si
medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser
igual a la distancia de este mismo punto al Foco.
Eje Focal: El eje
focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el
punto en el cual la parábola corta el eje focal.
Lado Recto: Es un
segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al
eje focal y sus extremos son puntos de la parábola (A, B).
Parámetro: La
distancia entre el vértice y la directriz que es la misma entre el vértice y el
foco de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele
denotarse por p).
La expresión algebraica que
describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
Si y sólo si b^2 - 4ac = 0
Y los coeficientes a y c no
pueden ser simultáneamente nulos.
2.
HIPÉRBOLA es una sección
cónica,
una curva abierta
de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por
un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto
del eje de revolución.
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0,0) y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)
(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1
Ejemplos:
A (x)^2/25 - (y)^2/9 = 1 B (x)^2/9 - (y)^2/25 = 1
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x,
y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la
hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una
hipérbola siempre es mayor que uno.
3.
EL FOCO de una
curva es un punto (o puntos) singular, respecto del cual se mantienen
constantes determinadas distancias relacionadas con los puntos de dicha curva.
FOCO DE LA PARÁBOLA: es un
punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia
que hasta una recta llamada directriz.
f(h+p,k) Cuando la parábola va
hacia la derecha; f(h-p,k) Cuando la parábola va
hacia la izquierda.
FOCOS DE LA HIPÉRBOLA : son dos puntos. Respecto de ellos,
permanecen constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a
cualquier punto de dicha hipérbola.
4. PROYECCIÓN ORTOGONAL es aquella cuyas rectas
proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la
recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del
elemento proyectante con los proyectados.
Proyección ortogonal de un punto
La proyección ortogonal de un punto P en una
recta L es otro punto A que se obtiene trazando una línea
auxiliar perpendicular a L desde el punto A. Lógicamente, si el
punto P pertenece a la recta L,
coinciden: P = A .
Proyección ortogonal de un
segmento
Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo la
recta L, la proyección ortogonal es segmento PQ que se obtiene
trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos. La
magnitud de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.
Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la
proyección será: AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.
Si el segmento AB tiene un punto común
con la recta L, la proyección se obtiene de modo similar.
Si el segmento AB corta a la
recta L, la proyección se obtiene de forma análoga.
5. Un segmento,
en geometría, es un fragmento de recta que está
comprendido entre dos puntos, llamados extremos. Así, dados dos
puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y
la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se
denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta
sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a
este.
Comparación
de segmentos
Postulado de las tres posibilidades (Ley
de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe
verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:
·
Los
segmentos son iguales.
·
El
primero es mayor que el segundo.
·
El
primero es menor que el segundo.
Posibilidades
que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de
cumplirse las otras dos
Igualdad
de segmentos
La
igualdad de segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes
propiedades:
Desigualdad
La
desigualdad de segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones
de mayor y de menor.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común únicamente un
extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:
·
Colineales, alineados o
adyacentes.
