Matrices

Definiciones básicas

Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.

Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama a_ij o A_ij.

Ejemplo

Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres.

A =		0	1	2	0	3
		1/3	-1	10	1/3	2
		3	1	0	1	-3
		2	1	0	0	1

Operaciones con matrices

Trasposición
La matriz traspuesta, A^T, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = A^T, entonces B es la matriz n×m con b_ij = a_ji.
Suma, Resta 
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)_ij = A_ij + B_ij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)_ij = A_ij - B_ij.
Multiplicación escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)_ij = c(A_ij).
Producto 
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)_ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

Ejemplos
Trasposición

0 1 2 T 1/3 -1 10

=

0 1/3 1 -1 2 10

Suma y múltiple escalar

0 1 1/3 -1

+

2

1 -1 2/3 -2

=

2 -1 5/3 -5

Producto

0 1 1/3 -1

1 -1 2/3 -2

=

2/3 -2 -1/3 5/3

Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Ejemplos

La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =		1	0	0	0
		0	1	0	0
		0	0	1	0
		0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A = 0 1 1/3 -1

B =

1 -1 2/3 -2




AB =	2/3 -2 -1/3 5/3
BA =	-1/3 2 -2/3 8/3

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada Apuede tener una inversa, que se escribe como A^-1, con la propiedad

AA^-1 = A^-1A = I.

Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A^-1, que nos da

X = A^-1B.

Determinar si una matriz es invertible

Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A¹ si existe, escriba la matriz n×(2n) [A | I] (esta es Acon la matriz unidad n×n a su lado).

Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.

Si la forma reducida es [I | B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A^-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.

Ejemplos

La matriz

A =		1	2	4
		2	4	6
		4	6	8

es invertible. La matriz

B =		1	2	4
		2	4	6
		2	4	7

es singular.