Matrices

Definiciones básicas

Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.

Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama a_ij o A_ij.

Ejemplo

Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres.

A =		0	1	2	0	3
		1/3	-1	10	1/3	2
		3	1	0	1	-3
		2	1	0	0	1

Operaciones con matrices

Trasposición
La matriz traspuesta, A^T, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = A^T, entonces B es la matriz n×m con b_ij = a_ji.
Suma, Resta 
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)_ij = A_ij + B_ij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)_ij = A_ij - B_ij.
Multiplicación escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)_ij = c(A_ij).
Producto 
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)_ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

Ejemplos
Trasposición

0 1 2 T 1/3 -1 10

=

0 1/3 1 -1 2 10

Suma y múltiple escalar

0 1 1/3 -1

+

2

1 -1 2/3 -2

=

2 -1 5/3 -5

Producto

0 1 1/3 -1

1 -1 2/3 -2

=

2/3 -2 -1/3 5/3

Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Ejemplos

La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =		1	0	0	0
		0	1	0	0
		0	0	1	0
		0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A = 0 1 1/3 -1

B =

1 -1 2/3 -2




AB =	2/3 -2 -1/3 5/3
BA =	-1/3 2 -2/3 8/3

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada Apuede tener una inversa, que se escribe como A^-1, con la propiedad

AA^-1 = A^-1A = I.

Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A^-1, que nos da

X = A^-1B.

Determinar si una matriz es invertible

Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A¹ si existe, escriba la matriz n×(2n) [A | I] (esta es Acon la matriz unidad n×n a su lado).

Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.

Si la forma reducida es [I | B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A^-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.

Ejemplos

La matriz

A =		1	2	4
		2	4	6
		4	6	8

es invertible. La matriz

B =		1	2	4
		2	4	6
		2	4	7

es singular.

ALGEBRA  LINEAL

Katherine Acosta García

1.    En matemática, LA PARÁBOLA es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Elementos de la parábola

Directriz: La Directriz es la recta sobre  la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco.

Eje Focal: El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.

Lado Recto: Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola (A, B).

Parámetro: La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma entre el vértice y el foco de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

Si y sólo si b^2 - 4ac = 0

Y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.

2.    HIPÉRBOLA es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas  (0,0) y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)

(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1

Ejemplos:

A (x)^2/25 - (y)^2/9 = 1              B   (x)^2/9 - (y)^2/25 = 1   

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

3.    EL FOCO de una curva es un punto (o puntos) singular, respecto del cual se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con los puntos de dicha curva.

FOCO DE LA PARÁBOLA: es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz.

f(h+p,k) Cuando la parábola va hacia la derecha; f(h-p,k) Cuando la parábola va hacia la izquierda.

FOCOS DE LA HIPÉRBOLA : son dos puntos. Respecto de ellos, permanecen constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipérbola.

4. PROYECCIÓN ORTOGONAL es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

Proyección ortogonal de un punto

La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que se obtiene trazando una línea auxiliar perpendicular a L desde el punto A. Lógicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden: P = A .

Proyección ortogonal de un segmento

Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo la recta L, la proyección ortogonal es segmento PQ que se obtiene trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos. La magnitud de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.

Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será: AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.

Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, la proyección se obtiene de modo similar.

Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene de forma análoga.

5.  Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados extremos. Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Comparación de segmentos

Postulado de las tres posibilidades (Ley de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:

·         Los segmentos son iguales.

·         El primero es mayor que el segundo.

·         El primero es menor que el segundo.

Posibilidades que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de cumplirse las otras dos

Igualdad de segmentos

La igualdad de segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes propiedades:

·         Idéntica, reflexiva o refleja: Cualquier segmento es igual a sí mismo.

·         Recíproca o simétrica: Si un segmento es congruente con otro, aquel es congruente con el primero.

Desigualdad

La desigualdad de segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones de mayor y de menor.

Segmentos consecutivos

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común únicamente un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:

·         Colineales, alineados o adyacentes.

Bienvenida!!

Te damos la Bienvenida a nuestro Blog dedicado a la asignatura de Algebra Lineal que se dicta en la Corporación Universitaria de Ciencia y Desarrollo UNICIENCIA sede Santiago de Cali.
En este espacio encontrará información relacionada con la asignatura y enlaces donde podrá adquirir mas conocimientos del tema así como aplicaciones en la vida cotidiana.